0.06 m ব্যাসার্ধের একটি কৃষ্ণকায়া গোলককে $1000°C$ তাপমাত্রায় উত্তপ্ত করে $120°C$ তাপমাত্রার একটি পাত্রে বন্ধ করে রাখা হল। গোলকটির তাপ বিকিরণের হার কত?[$\sigma =5.7\times {10}^{-8}W{m}^{-2}{K}^{-4}$]

একটি কৃষ্ণকায়া গোলক থেকে তাপ বিকিরণের হার (মোট ক্ষমতা) স্টিফেন-বোল্টজম্যানের সূত্র (Stefan-Boltzmann Law) দ্বারা নির্ধারিত হয়। কোনো বস্তু এবং তার পারিপার্শ্বিকের মধ্যে তাপ বিকিরণের নেট হার নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[ P_{net} = A \epsilon \sigma (T_{body}^4 - T_{surroundings}^4) \]

যেখানে,

    
• \(P_{net}\) হলো নেট তাপ বিকিরণের হার (ক্ষমতা, ওয়াট-এ)
    
• \(A\) হলো বস্তুর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
    
• \(\epsilon\) হলো বস্তুর বিকিরণ ক্ষমতা (emissivity)। কৃষ্ণকায়া বস্তুর জন্য \(\epsilon = 1\)
    
• \(\sigma\) হলো স্টিফেন-বোল্টজম্যান ধ্রুবক (\(\sigma = 5.7 \times 10^{-8} Wm^{-2}K^{-4}\))
    
• \(T_{body}\) হলো বস্তুর পরম তাপমাত্রা (কেলভিন-এ)
    
• \(T_{surroundings}\) হলো পারিপার্শ্বিকের পরম তাপমাত্রা (কেলভিন-এ)

প্রদত্ত মানগুলো হলো:

    
• গোলকের ব্যাসার্ধ, \(r = 0.06\) m
    
• গোলকের তাপমাত্রা, \(T_C1 = 1000^\circ C\)
    
• পাত্রের তাপমাত্রা (পারিপার্শ্বিকের তাপমাত্রা), \(T_C2 = 120^\circ C\)
    
• স্টিলফেন-বোল্টজম্যান ধ্রুবক, \(\sigma = 5.7 \times 10^{-8} Wm^{-2}K^{-4}\)

প্রথমে তাপমাত্রা কেলভিন স্কেলে রূপান্তর করতে হবে:

\(T_{body} = T_C1 + 273 = 1000 + 273 = 1273\) K

\(T_{surroundings} = T_C2 + 273 = 120 + 273 = 393\) K

গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \(A = 4 \pi r^2\):

\(A = 4 \times 3.1416 \times (0.06)^2\)

\(A = 4 \times 3.1416 \times 0.0036\)

\(A \approx 0.045239\) m\(^2\)

এখন, তাপ বিকিরণের হার \(P_{net}\) নির্ণয় করা যাক:

\(P_{net} = A \sigma (T_{body}^4 - T_{surroundings}^4)\)

\(P_{net} = 0.045239 \times 5.7 \times 10^{-8} \times (1273^4 - 393^4)\)

\(1273^4 \approx 2.60427 \times 10^{12}\)

\(393^4 \approx 2.3807 \times 10^{10}\)

\(T_{body}^4 - T_{surroundings}^4 = (2.60427 \times 10^{12}) - (0.023807 \times 10^{12})\)

\(T_{body}^4 - T_{surroundings}^4 = (2.60427 - 0.023807) \times 10^{12}\)

\(T_{body}^4 - T_{surroundings}^4 = 2.580463 \times 10^{12}\)

এখন, \(P_{net}\) এর মান নির্ণয় করি:

\(P_{net} = 0.045239 \times 5.7 \times 10^{-8} \times 2.580463 \times 10^{12}\)

\(P_{net} = (0.045239 \times 5.7 \times 2.580463) \times 10^{(-8+12)}\)

\(P_{net} = (0.2578623 \times 2.580463) \times 10^4\)

\(P_{net} = 0.665476 \times 10^4\)

\(P_{net} = 6654.76\) W

প্রায় \(6.7 \times 10^3\) W

বিকল্পগুলোতে উত্তরগুলো \(Wm^{-2}\) এককে দেওয়া আছে, তবে গণনার ফলাফল মোট ক্ষমতা (W) নির্দেশ করে। প্রশ্নটি মোট তাপ বিকিরণের হার জানতে চেয়েছে, তাই উত্তরটি ওয়াট এককে হবে। বিকল্পের ইউনিট ভুলক্রমে \(Wm^{-2}\) হতে পারে।